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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 1 - Números reales

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4. Escribir como un intervalo o una unión de intervalos y representar en la recta real.
e) $\left\{x \in \mathrm{R} / \frac{7 x+5}{x-1}<7\right\}$

Respuesta

$\frac{7 x+5}{x-1} \lt 7$


Reducimos la expresión a una sola fracción, buscando obtener un cero del lado derecho de la desigualdad.


$\frac{7x+5}{x-1}-7\lt 0$


$\frac{7x+5-7\left(x-1\right)}{x-1}\lt0$ 


$\frac{7x+5-7x+7}{x-1}\lt0$ 


$\frac{12}{x-1}\lt0$ 


En este ejercicio sólo tenemos un caso posible, ya que el signo del numerador está definido (no tenemos variable $x$ en el numerador, sino que es un número, el 12, el cual es positivo). Esto lo vimos en el video de inecuaciones. Te recomiendo verlo antes de continuar.

Entonces, para que esta división sea negativa ($ \lt 0$) numerador y denominador deberán tener el signo contrario. Como el signo del numerador es positivo, solo cabe que el denominador sea negativo:


Único caso posible, definido por el denominador: 


 $x-1 \lt 0$


$x \lt 1$ 


Los valores de $x$ que cumplen esta condición son los valores  $x \lt 1$. Por lo tanto la solución del caso 2 estará dada por los valores de $x$ pertenecientes al conjunto $(-\infty, 1)$.



Por lo tanto la solución total será la única solución posible

Solución:  $x\in (-\infty, 1)$


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Avatar 22 de abril 21:18
Hola profe, no entiendo xq no se representa el 12
Avatar Julieta Profesor 23 de abril 08:43
@ Hola! Es porque no hay una $x$ en el numerador. Entonces, el signo del numerador ya está definido si no hay $x$, ya que hay un número 12 que es un valor positivo.

Cuando tenés $x$ en el numerador o denominador en una división, no sabés el valor de $x$, y por lo tanto no podés saber si ese numerador o ese denominador son positivos o negativos. Es por eso que planteamos los casos, para poder hallar los valores de $x$ que, en este caso, hacen que la división sea negativa ($<0$).
Avatar Mary 24 de agosto 23:45
Hola profe que tal?? No logro entender  porque dice: para que esta división tenga que ser positiva el numerador y el denominador deberán tener el signo contrario
Y otra duda es porque marco el 12 en la recta para la izquierda?
Avatar Julieta Profesor 26 de agosto 20:39
@Mary fue un error de tipeo, incluso escribí el <0 jeje pero bueno, a veces se me chispotean algunas cosas, gracias por el aviso!!!
Avatar Milagros 21 de agosto 18:06
Hola profe una pregunta, (7 + 5 - 7 (x- 1)<0 /(x- 1) hasta ahí entiendo pero abajo cuando esta esto 7x + 5 - 7 x+ 7 <0 /x-1  por qué sería así? ¿Por que hay un siete mas y el (x-1) que habia en el numerador ya no está?
Avatar Julieta Profesor 21 de agosto 21:21
@Milagros Hola mili, es porque hice la distributiva del 7 que está antes del paréntesis con lo que está dentro del paréntesis. Y para eso hay que aplicar la regla de los signos, entonces -7 . (x-1) = -7x +7
Avatar Milagros 22 de agosto 08:14
Listo, muchas gracias juli🤍
Avatar Camila 2 de mayo 10:58
profe de donde sacaste el (x-1) que aparece en el numerador? en la teoria de inecuaciones diste el ejemplo de caso 1 y caso 2 pero estoy viendo que aca no lo usas. 
Otra consulta, cuando se nos presenta un caso asi ¨menor a 7¨ tengo que siempre buscar que me quede ¨menor a cero¨? o sea siempre despues del signo ¨menor o mayor a¨ deberia tener un cero?
Avatar Julieta Profesor 3 de mayo 15:44
@Camila ¡Hola Cami! El (x-1-) del numerador viene de reducir la expresión (la resta con el 7) a una sola fracción, es decir, hacemos la resta de fracciones. Eso lo vemos en el video de fracciones por si querés darte una vuelta.

Y después. síiiiii, fijate en el video de inecuaciones cuando tenemos los casos, que digo que lo primero es SIEMPRE buscar tener el cero a la derecha de la desiguladad, y obtener una única expresión del otro lado. ¡Excelente Cami!
Avatar Rocio 11 de abril 00:02
Profe! No entiendo cómo se, que en la recta, debo "pintar" todos los números menores a 12, y no los mayores a 12.
Avatar Julieta Profesor 11 de abril 09:43
@Rocio Hola Ro, mirá el video de inecuaciones para el caso de la división, ahí vemos super detallado el por qué. Es clave que lo sepas porque es lo que pasa cuando tenés 1 solo caso posible.
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